4

Một người bạn tại nơi làm việc,  Drew Fustin , đã đề xuất câu đố này trong cuộc trò chuyện nhóm của chúng tôi một ngày khi tôi đang nói về những thứ sáng bóng của Bayes.

Cơn sốt có một em bé. Trước khi cô thậm chí có thể biết giới tính nào, bác sĩ sẽ đưa em bé vào nhà trẻ. Trước khi em bé mới này được thêm vào, có hai bé gái và một số bé trai không rõ. Bạn chọn một em bé ngẫu nhiên từ nhà trẻ bây giờ em bé của Alexis đã được thêm vào nó. Cho rằng bạn tình cờ chọn một cô gái, xác suất mà Alexis sinh ra một cô gái là gì?

Phản ứng đầu tiên của tôi là về sao Số lượng con trai không quan trọng? Tất nhiên cuối cùng nó không có và đó là lý do tại sao đây là một câu đố tuyệt vời.

Những gì được biết đến là gì?

Đầu tiên chúng ta bắt đầu với những điều đã biết và chưa biết. Hãy xác định các khái niệm chúng ta sẽ làm việc trong suốt quá trình giải quyết vấn đề.

P (Ag) = xác suất rằng Alexis đã có một cô gái.  
P (Ab) = xác suất rằng Alexis đã có một cậu bé.  
P (Cg) = xác suất một cô gái được chọn từ nhà trẻ.  
P (Cb) = xác suất một cậu bé được chọn từ nhà trẻ.  
y = 2 gái + n trai + 1 bé mới (trai hay gái)

Với suy nghĩ này, xác suất mà chúng tôi đang giải quyết là P (Ag | Cg), đó là xác suất mà một cô gái được cho là một cô gái được chọn từ nhà trẻ.

Câu hỏi cần trả lời: 
P (Ag | Cg) =?

Các givens dễ dàng: 
P (Ag) = .5  
P (Ab) = .5  
P (Ag, Cg) = P (Ag | Cg) * P (Cg) = P (Cg | Ag) * P (Ag)  
P ( Ag | Cg) = P (Cg | Ag) * P (Ag) / P (Cg)

Chúng tôi không thể biết chính xác xác suất chọn con gái vì chúng tôi không biết chính xác có bao nhiêu em bé trong nhà trẻ. Do đó, chúng tôi để lại một ẩn số là một biến: y = số em bé trong nhà trẻ sau khi một đứa trẻ mới được thêm 
P (Cg | Ag) = 3 / y  
P (Cg | Ab) = 2 / y

Sự tinh tế được biết đến

Có một điều tinh tế cuối cùng mà chúng ta có thể biết. Chúng ta có thể tạo một phương trình đại diện cho tất cả các kịch bản có thể. Đây là một loại cứng cứng được đưa ra: 
1 = P (Ag, Cg) + P (Ab, Cg) + P (Ag, Cb) + P (Ab, Cb)

Chúng ta biết rằng P (Cb) = 0 vì P (Cg) = 1. Cho rằng: 
1 = P (Ag, Cg) + P (Ab, Cg)  
1 = P (Ag) * P (Cg | Ag) + P (Ab) * P (Cg | Ab)

Xác suất có điều kiện rất thú vị vì chúng ta có thể viết dòng thứ hai phía trên theo cách đó hoặc là  1 = P (Cg) * P (Ag | Cg) + P (Cg) * P (Ab | Cg) . Lý do tôi chọn cách tôi đã làm là vì tôi có thể thay thế P (Cg | Ag) và P (Cg | Ab) bằng 3 / y và 2 / y tương ứng.

Khi số lượng trẻ sơ sinh ngừng quan trọng

Tiếp theo hãy nhớ câu nói trên: 
P (Ag | Cg) = P (Cg | Ag) * P (Ag) / P (Cg)

và rằng P (Cg) = 1 vì chúng tôi biết chúng tôi đã chọn một cô gái từ nhà trẻ. Bây giờ chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này và đặt nó bằng với phương trình trên như sau: 
1 = P (Cg | Ag) * P (Ag) / P (Ag | Cg)  
1 = P (Ag) * P (Cg | Ag) + P (Ab) * P (Cg | Ab)

Đặt chúng bằng nhau: 
P (Cg | Ag) * P (Ag) / P (Ag | Cg) = P (Ag) * P (Cg | Ag) + P (Ab) * P (Cg | Ab)

Bây giờ thay thế trong những điều đã biết của chúng tôi: 
(3 / y) * .5 / P (Ag | Cg) = .5 * (3 / y) + .5 * (2 / y)

Hãy nhớ làm thế nào chúng ta không biết có bao nhiêu em bé trong nhà trẻ và dán nhãn là y? Xem tất cả hủy bỏ trong bước này: 
3 * .5 / P (Ag | Cg) = .5 * 3 + .5 * 2

Giải cho P (Ag | Cg) 
P (Ag | Cg) = (3 * .5) / (.5 * 3 + .5 * 2)  
P (Ag | Cg) = .6

Nó đây rồi! Cho rằng chúng tôi đã chọn một cô gái từ nhà trẻ, có 60% cơ hội cô ấy đã sinh con gái!

|