Hình dung phép nhân ma trận như một tổ hợp tuyến tính


Đặng Hữu Hùng
4 năm trước
Hữu ích 6 Chia sẻ Viết bình luận 0
Đã xem 9727

Khi nhân hai ma trận, có một quy trình thủ công tất cả chúng ta đều biết cách thực hiện. Mỗi ô kết quả được tính riêng như là sản phẩm chấm của một hàng trong ma trận đầu tiên với một cột trong ma trận thứ hai. Trong khi đó là cách dễ nhất để tính toán kết quả bằng tay, nó có thể che khuất một tài sản rất thú vị của hoạt động: nhân A bằng B là sự kết hợp tuyến tính của cột A bằng cách sử dụng hệ số từ B . Một cách khác để nhìn vào nó là nó là một sự kết hợp tuyến tính của dãy B sử dụng hệ số từ A .

Trong bài viết nhanh này, tôi muốn hiển thị một hình ảnh trực quan đầy màu sắc sẽ làm cho điều này dễ nắm bắt hơn.

Phép nhân phải: Kết hợp các cột

Hãy bắt đầu bằng cách xem phép nhân của ma trận X bằng một vectơ cột:

 

Đại diện cho các cột của X bằng các hộp đầy màu sắc sẽ giúp hình dung điều này:

Dán hộp màu trắng với a trong đó vào một vectơ chỉ có nghĩa là: nhân vectơ này với vô hướng a. Kết quả là một vectơ cột khác - một tổ hợp tuyến tính của các cột X, với a, b, c là các hệ số.

Nhân X đúng với một ma trận giống nhau hơn. Mỗi cột kết quả là một tổ hợp tuyến tính khác nhau của các cột X:

Đồ họa:

Nếu bạn nhìn kỹ vào phương trình trên và nheo mắt một chút, bạn có thể nhận ra thuộc tính kết hợp cột này bằng cách kiểm tra từng cột của ma trận kết quả.

Phép nhân trái: Kết hợp các hàng

Bây giờ hãy kiểm tra phép nhân trái. Nhân trái một ma trận X với một vectơ hàng là một tổ hợp tuyến tính của các hàng X :

 

Được biểu thị bằng đồ họa như vậy:

Và nhân trái với một ma trận là điều tương tự được lặp lại cho mỗi hàng kết quả: nó trở thành tổ hợp tuyến tính của các hàng X, với các hệ số được lấy từ các hàng của ma trận bên trái. Đây là dạng phương trình:

Và dạng đồ họa:

Hữu ích 6 Chia sẻ Viết bình luận 0
Đã xem 9727