4

Độ dài của một số điện thoại thay đổi theo quốc gia, nhưng số điện thoại của Hoa Kỳ là một số gồm 10 chữ số và các số 10 chữ số thường chia hết cho ba số nguyên tố khác nhau, cho hoặc lấy một cặp. Giả sử các số điện thoại nằm rải rác giữa các số có 10 chữ số có thể theo cách không thiên vị số lượng các yếu tố chính của chúng, những số này thường sẽ có từ 1 đến 5 yếu tố chính. Nếu một quốc gia có số điện thoại 9 hoặc 11 chữ số, kết quả về cơ bản là giống nhau.

Gọi ( n ) là số các thừa số nguyên tố riêng biệt của  n . Sau đó, định lý Erdős Kac của Erd nói rằng ( n ) được phân phối như một biến ngẫu nhiên bình thường với log log trung bình và phương sai  n . Chính xác hơn, sửa hai số a và  b . Với giá trị đã cho là  x , hãy đếm tỷ lệ số nguyên dương nhỏ hơn  x trong đó

(( n ) - nhật ký nhật ký  n ) / sqrt (nhật ký nhật ký  n )

nằm giữa  a và  b . Sau đó, trong giới hạn khi  x đi đến vô cùng, tỷ lệ này đạt đến xác suất một biến ngẫu nhiên tiêu chuẩn bình thường nằm giữa  a và  b .

Do đó, theo kinh nghiệm đó, số lượng các thừa số nguyên tố riêng biệt của một số có 10 chữ số được phân phối một cách bình thường với nhật ký trung bình và phương sai 10 ^ 11 = 3.232, và phân phối như vậy là từ 1 đến 5 khoảng 73% thời gian.

Ví dụ, số điện thoại doanh nghiệp của tôi là 8324228646. Rõ ràng số này chia hết cho 2. Trên thực tế, nó bằng 2 × 3 2 × 462457147, và do đó, nó có chính xác ba yếu tố chính khác biệt: 2, 3 và 462457147.

Đây là cách bạn có thể chơi với cái này bằng Python.

    from sympy.ntheory import factorint

    def omega(n):
        return len(factorint(n))

Tôi đã xem SymPy và không thấy trực tiếp triển khai ω ( n ), nhưng nó có một yếu tố chức năng trả về các thừa số nguyên tố của một số, cùng với bội số của chúng, trong từ điển. Vậy ( n ) chỉ là kích thước của từ điển đó.

Tôi đã lấy 20 số điện thoại đầu tiên trong danh bạ của mình và xem chúng omegavà nhận được kết quả phù hợp với những gì bạn mong đợi từ lý thuyết trên. Một là số nguyên tố, và không có yếu tố nào có nhiều hơn năm yếu tố.

|