4

Nếu một cái gì đó đã sống sót đến nay, nó sẽ tồn tại bao lâu nữa? Đó là câu hỏi được trả lời bởi thời gian còn lại.

Đối với biến ngẫu nhiên dương  X , thời gian dư trung bình của  X  là hàm  e X ( t ) được cho bởi

cung cấp sự kỳ vọng và hội tụ tích phân. Ở đây  F (t) là CDF, xác suất  X  lớn hơn  t .

Đối với phân phối theo cấp số nhân, thời gian còn lại trung bình là không đổi. Đối với phân phối Pareto (luật công suất), thời gian còn lại trung bình tỷ lệ với  t . Điều này có một hậu quả thú vị, được gọi là  hiệu ứng Lindy .

Bây giờ hãy xoay chuyển mọi thứ. Cho hàm số một hàm  e ( t ), chúng ta có thể tìm hàm mật độ cho một biến ngẫu nhiên dương với thời gian dư trung bình đó không? Vâng.

Phương trình trên mang lại một phương trình vi phân cho  F , CDF của phân phối.

Nếu chúng ta phân biệt cả hai mặt của

đối với  t  và sắp xếp lại, chúng ta có phương trình vi phân bậc nhất

Ở đâu

Điều kiện ban đầu phải là  F (0) = 0 vì chúng tôi đang tìm phân phối của một biến ngẫu nhiên dương, nghĩa là xác suất  X  nhỏ hơn 0 phải bằng 0. Giải pháp là sau đó

Điều này có nghĩa là trong thời gian dư trung bình mong muốn, bạn có thể sử dụng phương trình trên để tạo hàm CDF cho khớp. Đạo hàm của hàm CDF cung cấp cho hàm PDF, do đó phân biệt cả hai mặt để có được mật độ.

|