10

Đầu tiên Brian Hayes đã viết một bài viết tuyệt vời về phần còn lại khi các số nguyên tố được chia cho các số nguyên tố khác. Sau đó, tôi đã viết một bài tiếp theo chỉ tập trung vào phần đầu tiên của bài viết của mình. Anh ấy chủ yếu nhìn vào các cặp số nguyên tố, nhưng tôi muốn xem chi tiết hơn ở phần đầu tiên của bài viết của anh ấy, mô phỏng các cuộn súc sắc bằng cách giữ phần còn lại khi các số nguyên tố liên tiếp được chia cho một số nguyên tố cố định. Ví dụ: sử dụng một chuỗi các số nguyên tố lớn hơn 7 và lấy phần còn lại của chúng bằng 7 để tạo các giá trị từ 1 đến 6.

Các kết quả được phân phối đồng đều với một số biến thể, giống như cuộn xúc xắc. Trên thực tế, với những kết quả và kết quả này từ một tập hợp các con xúc xắc thực sự, hầu hết mọi người có thể sẽ nghĩ rằng cái trước là có thật vì chúng được phân bổ đều hơn. Một kiểm tra mức độ phù hợp chi bình phương cho thấy kết quả được phân phối quá đều so với cuộn xúc xắc thực sự.

Cuối bài viết trước của tôi, tôi thảo luận rất ngắn gọn về những gì xảy ra khi bạn nhìn một con xúc xắc có nhiều hơn sáu mặt. Ở đây tôi sẽ đi vào chi tiết hơn một chút và xem xét một số lượng lớn các ví dụ.

Nói tóm lại, bạn có thể có một sự phù hợp đáng ngờ hoặc một sự phù hợp khủng khiếp. Nếu bạn nhìn vào phần còn lại khi chia các số nguyên tố cho  m , bạn sẽ nhận được các giá trị trong khoảng từ 1 đến  m -1. Bạn không thể nhận được phần còn lại bằng 0 vì các số nguyên tố không chia hết cho  m (hoặc bất cứ thứ gì khác!). Nếu  bản thân m là số nguyên tố, thì bạn nhận được tất cả các số từ 1 đến  m -1, và như chúng tôi sẽ hiển thị bên dưới, bạn có được chúng theo tỷ lệ rất chẵn. Nhưng nếu  m không phải là số nguyên tố, có một số phần còn lại bạn không thể nhận được.

Trình tự của phần còn lại trông ngẫu nhiên theo nghĩa là không thể đoán trước. (Tất nhiên  thể dự đoán được bằng thuật toán tạo ra chúng, nhưng không thể dự đoán theo nghĩa là bạn có thể nhìn vào chuỗi ra khỏi bối cảnh và đoán xem điều gì sẽ xảy ra tiếp theo.) Trình tự bị sai lệch, và đó là tin tức lớn. Các cặp số nguyên tố liên tiếp có phần dư tương quan. Nhưng tôi chỉ quan tâm đến việc thể hiện một sự khác biệt so với phân phối đồng đều, cụ thể là kết quả được phân phối quá đều so với các chuỗi ngẫu nhiên.

Bảng dưới đây đưa ra thống kê chi bình phương và giá trị p cho mỗi một số nguyên tố. Đối với mỗi số nguyên tố  p , chúng tôi lấy số dư mod  p của hàng triệu số nguyên tố tiếp theo sau  p và tính toán mức độ chi bình phương của thống kê phù hợp với  p -2 độ tự do. (Tại sao  p -2? Có  p -1 dư khác nhau, và kiểm định chi bình phương cho  k khả năng có  k -1 bậc tự do.)

Cột  p -value đưa ra xác suất nhìn thấy sự phù hợp này tốt hơn hoặc tốt hơn từ dữ liệu ngẫu nhiên thống nhất. (Các  p trong  p -giá trị không liên quan đến việc sử dụng của chúng ta về  p để biểu thị một nguyên tố. Đây là một hội nghị bất hạnh của số liệu thống kê tất cả mọi thứ được ký hiệu  p .) Sau vài số nguyên tố đầu tiên,  p -values là rất nhỏ, chỉ ra rằng đó là một thậm chí phân phối các giá trị sẽ là đáng kinh ngạc từ dữ liệu ngẫu nhiên.


|-------+------------+------------|
| Prime | Chi-square | p-value    |
|-------+------------+------------|
|     3 |     0.0585 |   2.88e-02 |
|     5 |     0.0660 |   5.32e-04 |
|     7 |     0.0186 |   1.32e-07 |
|    11 |     0.2468 |   2.15e-07 |
|    13 |     0.3934 |   6.79e-08 |
|    17 |     0.5633 |   7.64e-10 |
|    19 |     1.3127 |   3.45e-08 |
|    23 |     1.1351 |   2.93e-11 |
|    29 |     1.9740 |   3.80e-12 |
|    31 |     2.0052 |   3.11e-13 |
|    37 |     2.5586 |   3.92e-15 |
|    41 |     3.1821 |   9.78e-16 |
|    43 |     4.4765 |   5.17e-14 |
|    47 |     3.7142 |   9.97e-18 |
|    53 |     3.7043 |   3.80e-21 |
|    59 |     7.0134 |   2.43e-17 |
|    61 |     5.1461 |   6.45e-22 |
|    67 |     7.1037 |   5.38e-21 |
|    71 |     7.6626 |   6.13e-22 |
|    73 |     7.5545 |   4.11e-23 |
|    79 |     8.0275 |   3.40e-25 |
|    83 |    12.1233 |   9.92e-21 |
|    89 |    11.4111 |   2.71e-24 |
|    97 |    12.4057 |   2.06e-26 |
|   101 |    11.8201 |   3.82e-29 |
|   103 |    14.4733 |   3.69e-26 |
|   107 |    13.8520 |   9.24e-29 |
|   109 |    16.7674 |   8.56e-26 |
|   113 |    15.0897 |   1.20e-29 |
|   127 |    16.4376 |   6.69e-34 |
|   131 |    19.2023 |   6.80e-32 |
|   137 |    19.1728 |   1.81e-34 |
|   139 |    22.2992 |   1.82e-31 |
|   149 |    22.8107 |   6.67e-35 |
|   151 |    22.8993 |   1.29e-35 |
|   157 |    30.1726 |   2.60e-30 |
|   163 |    26.5702 |   3.43e-36 |
|   167 |    28.9628 |   3.49e-35 |
|   173 |    31.5647 |   7.78e-35 |
|   179 |    33.3494 |   2.46e-35 |
|   181 |    36.3610 |   2.47e-33 |
|   191 |    29.1131 |   1.68e-44 |
|   193 |    29.9492 |   2.55e-44 |
|   197 |    34.2279 |   3.49e-41 |
|   199 |    36.7055 |   1.79e-39 |
|   211 |    41.0392 |   8.42e-40 |
|   223 |    39.6699 |   1.73e-45 |
|   227 |    42.3420 |   2.26e-44 |
|   229 |    37.1896 |   2.02e-50 |
|   233 |    45.0111 |   4.50e-44 |
|   239 |    43.8145 |   2.27e-47 |
|   241 |    51.3011 |   1.69e-41 |
|   251 |    47.8670 |   6.28e-48 |
|   257 |    44.4022 |   1.54e-53 |
|   263 |    51.5905 |   7.50e-49 |
|   269 |    59.8398 |   3.92e-44 |
|   271 |    59.6326 |   6.02e-45 |
|   277 |    52.2383 |   2.80e-53 |
|   281 |    52.4748 |   1.63e-54 |
|   283 |    64.4001 |   2.86e-45 |
|   293 |    59.7095 |   2.59e-52 |
|   307 |    65.2644 |   1.64e-52 |
|   311 |    63.1488 |   1.26e-55 |
|   313 |    68.6085 |   7.07e-52 |
|   317 |    63.4099 |   1.72e-57 |
|   331 |    66.3142 |   7.20e-60 |
|   337 |    70.2918 |   1.38e-58 |
|   347 |    71.3334 |   3.83e-61 |
|   349 |    75.8101 |   3.38e-58 |
|   353 |    74.7747 |   2.33e-60 |
|   359 |    80.8957 |   1.35e-57 |
|   367 |    88.7827 |   1.63e-54 |
|   373 |    92.5027 |   7.32e-54 |
|   379 |    86.4056 |   5.67e-60 |
|   383 |    74.2349 |   3.13e-71 |
|   389 |   101.7328 |   9.20e-53 |
|   397 |    86.9403 |   1.96e-65 |
|   401 |    90.3736 |   3.90e-64 |
|   409 |    92.3426 |   2.93e-65 |
|   419 |    95.9756 |   8.42e-66 |
|   421 |    91.1197 |   3.95e-70 |
|   431 |   100.3389 |   1.79e-66 |
|   433 |    95.7909 |   1.77e-70 |
|   439 |    96.2274 |   4.09e-72 |
|   443 |   103.6848 |   6.96e-68 |
|   449 |   105.2126 |   1.07e-68 |
|   457 |   111.9310 |   1.49e-66 |
|   461 |   106.1544 |   7.96e-72 |
|   463 |   116.3193 |   1.74e-65 |
|   467 |   116.2824 |   1.02e-66 |
|   479 |   104.2246 |   3.92e-79 |
|   487 |   116.4034 |   9.12e-73 |
|   491 |   127.2121 |   6.69e-67 |
|   499 |   130.9234 |   5.90e-67 |
|   503 |   118.4955 |   2.60e-76 |
|   509 |   130.9212 |   6.91e-70 |
|   521 |   118.6699 |   6.61e-82 |
|   523 |   135.4400 |   3.43e-71 |
|   541 |   135.9210 |   3.13e-76 |
|   547 |   120.0327 |   2.41e-89 |
|-------+------------+------------|



|